| 授業科目名（和文） ［Course］ |
複素関数論 |
| 授業科目名（英文） ［Course］ |
Complex Analysis |
| 学部（研究科） ［Faculty］ |
情報工学部 |
| 学科（専攻） ［Department］ |
情報通信工学科 |
| 担当教員（○：代表教員） [Principle Instructor(○) and Instructors] |
○荒木 圭典 自室番号（）、電子メール（araki**are.ous.ac.jp） ※利用の際は,** を @に置き換えてください |
| 単位数 ［Point(Credit)］ |
後期 2単位 |
| 対象学生 ［Eligible students］ |
情報工学部情報通信工学科3年次生 |
| 授業概略と目標 ［Course description and Objects］ |
実数上における微分?積分を複素数上まで拡張する複素関数の性質を理解し、それを、たとえば電磁気学や流体力学における現象の理解に活用できることは理工系学生にとって重要な基礎能力になる。この授業では、はじめに複素関数とその微分?積分の基本について講述する。ついで、それらを級数展開や定積分へ応用する方法について述べる。 |
| 到達目標 ［Learning Goal］ |
1.簡単な正則関数(2次多項式, 指数関数, 対数関数)の像を筆算で求め、描画できる。 2.多項式、初等関数の導関数を複素1変数、実2変数で求めることができる。 3.簡単な径路(線分、円弧)上の複素関数の積分を計算できる。 4.級数展開（テイラー展開、ローラン展開）の計算ができる。 5.留数定理を用いて定積分が計算できる。 |
| 履修上の注意 ［Notes］ |
講義で必要な予備知識は次の1～4である。1.高校数学（三角関数、指数関数、対数関数の微分、積分）2.高校数学（直線、2次曲線の媒介変数表示）3.「解析学II」2変数関数の微分?積分 4.「解析学II」テイラー展開 |
| 授業計画とスケジュール ［Course schedule］ |
1.複素関数論で用いる用語のまとめ ?授業の進め方、成績評価の方法を説明■以下の項目について講義する：用語の整理: N(加法, 乗法), Z(減法(加法の逆)), Q(除法(乗法の逆)), R(極限), C(閉体), 複素数, 実部, 虚部, 絶対値, 複素共役, Re, Im, 複素平面, 偏角, 位相, 極表示. Eulerの公式. 指数関数、三角関数のTaylor級数. 三角関数とその級数表現が 「図形を描いて求める量」「四則演算で求める量」という二つのまったく異なる操作をつなぐ式であること。指数関数の級数表現が指数法則を満たすことのアウトライン。級数表現は四則しか使わないので複素数を代入できること。 2.複素平面上の集合 ?以下の項目について講義する：Re(z)、Im(z)；Taylor 級数の式に形式的にf′′=?fを代入して cos(t), sin(t)を導く；微分方程式f′′?3f′+2f=0を、3項間漸化式を解いて、結果をTaylor級数の式に代入して求める。漸化式の解法が左固有ベクトルの作用になっていることを示す。 線分、円のパラメーター表示 3.複素関数、写像 ?以下の項目について講義する：複素関数の作り方：整数べきの級数(収束性)；実2変数関数2個(可微分性)。多項式、n乗根、指数関数、三角関数(指数関数で定義)と 実関数での表現、双曲線関数(指数関数による定義、双曲線関数の読み)、対数関数と位相に由来する多価性、逆三角関数、複素数の一般べき 4.授業計画1,2,3のまとめと演習 ?複素関数論で用いる用語、複素平面上の集合、複素関数、写像について演習し解説を行う 5.複素関数の微分 ?複素関数の微分。微分の形式的な定義とΔz→0の意味。実1変数と実2変数のTaylor展開の図形的意味。全微分可能の定義。原点で偏導関数の値が方向によって異なる関数の例；円錐。導関数の定義からの計算とCauchy-Riemannの関係式の導出。Cauchy-Riemannの関係式から調和関数の導出。調和関数の例：x^2?y^2, x^3?3xy^2. 正則の定義。 6.正則関数 ?以下の項目について講義する：z＾3, e＾z の導関数を z のべき(べき級数)表現と実2変数の組 u(x,y), v(x,y) による表現で導出し、首尾一貫すること；微分公式：線形性、Leibniz則、連鎖率；三角関数、双曲線関数；逆関数の導関数；log(z)の導関数；z^a (a∈C) の導関数。 7.授業計画5,6のまとめと演習 ?複素関数の微分、正則関数について演習し解説を行う 8.複素積分 ?以下の事項について解説する：積分の記号。 測度／微分形式が次元を持つ。 複素積分：積分「区間」が「線状」であること。 実2変数関数の線積分, 面積分の簡単なレビュー, 矩形領域を用いた Green の定理の簡単な説明。 具体的な積分の計算：線分、円弧のパラメーター表示。 例：∫zdz, ∫z^*dz を 1, i を結ぶ線分と円弧上で計算。 9.コーシーの積分定理?積分公式 ?以下の事項について解説する。連結、単連結、境界の内部と径路の向き、内点、外点、境界点。 Cauchyの積分定理：Greenの定理からCauchy-Riemannの関係式を代入して証明。 系：正則関数の積分値が経路に依らないこと。 Cauchyの積分公式、Goursatの定理の紹介。 公式の特徴(被積分関数がz=aで特異になること)について。 Cauchy の積分公式の証明。 公式の証明の積分路の解説。 10.授業計画8,9のまとめと演習 ?複素積分、コーシーの積分定理?積分公式の演習を行う。また∮(z?a)＾ndz (n∈Z)の計算, Cauchyの積分公式の証明, 平均値の定理, 最大値の原理, n次多項式=0が解を持つ事について解説する 11.テイラー展開?ローラン展開 ?Taylor級数(展開の中心, 収束半径), Laurent展開(主要部, 正則部, 留数, 係数を積分で与えること), 孤立特異点の分類, Heaviside's cover-up method, 留数の公式について講義する 12.留数定理 ?留数定理について解説し、簡単で実積分に応用できる例題を説明する 13.定積分の計算 ?複素積分を応用した実関数の積分について典型例を講義する 14.授業計画11,12,13のまとめと演習 ?テイラー展開?ローラン展開、留数定理、定積分の計算について演習、解説を行う 15.今学期のまとめの演習 ?この講義全体で学習した事項について、教科書、ノート等を参照しながら問題を解く |
| 成績評価方法と基準 ［Grading policy (Evaluation)］ |
第15週に実施する今学期のまとめの演習の結果で評価する(100%) |
| 教科書 ［Textbook］ |
教科書：「工科系学生のための複素関数 攻略への一本道」板垣正文,森北出版 参考書：「複素解析」「複素関数論」等の表題の書籍を適宜参照すること |
| 自主学習ガイド及び キーワード ［Self learning］ |
授業では教科書に十分説明されていない項目を解説し、また、演習問題の具体的な解き方を提示するので、ノートをきちんととって復習すること。キーワードについては授業計画とスケジュールを参照すること。 |
| 開講年度 ［Year of the course］ |
28 |
| 備考 | 第16週に今学期のまとめの演習の答案を返却し、解説を行う。 |